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魯老師
從事CFA培訓教育六年，熟悉CFA課程體系，規劃考試方案，提供CFA備考建議。
在利率期限結構中，某些關鍵的整數期限的利率對金融市場交易者心理產生的影響是至關重要的。1年期利率、5年期利率和10年期利率就是這些關鍵期限利率的典型代表。關鍵利率久期(Key-Rate Duration)正是以這些關鍵期限利率為基礎，衡量固定收益證券價格對利率敏感性的分析方法。具體而言，它描述的是關鍵年期的利率發生變化時，債券價格的敏感性。一般而言，人們假定關鍵年期利率對其他非關鍵年期利率的影響是簡單的線性關系(例如線性遞減關系)，且關鍵利率變動的影響對其他關鍵年點的影響為零。
(一)計算步驟：
1. 選擇利率水平變化的關鍵年期，如默認可選擇：1年、3年、5年、7年、10年、
15年、20年和30年。
2. 設定其他期限利率隨關鍵期限利率變動的關系：假定關鍵期限利率對非關鍵期限利率的影響是單純線性關系——關鍵年利率變動最大，其附近期限的利率變動線性遞減，到鄰近的關鍵年點時這種影響已經遞減為零。 具體而言，假定7年期利率上升10bp，由于7年期利率與右側10年期利率的時間隔3年，所以當7年期利率發生變動時，對于右側利率的影響將以每年10/3=3.33bp的速度下降(因為7年期利率和
10年期利率均為關鍵期限利率，且關鍵期限利率的變動對其他關鍵期限利率無影 響)。因此，當7年期利率上升10bp時，8年期的利率上升6.67bp，9年期的利率上升10-2×3.33=3.33bp，依次類推，10年期的利率不受影響。
當7年期的利率發生變動時，也會影響7年期以下的利率。因為7年期利率與左 側的5年期利率相隔2年，所以7年期利率上升10bp的影響將以每年10/2=5bp的速度下
1 楊筱燕，博士， FRM ，中國銀河證券股份有限公司風險管理部總監。電子郵件：
[email protected]。
降。因此，當7年期利率上升10bp時，6年期利率上升10-5=5bp，相應的，5.5年期利率上升10-1.5×5=2.5bp，以此類推。
3.假定第n個關鍵年的利率分別向上和向下發生一個微小的變動y ，根據上述關鍵年利率變動的關系，可構建新的期限結構和按以上規則變動后的到期收益率曲線，并以之分別計算變化后的債券或組合市值V+ ,V- 。結合當前債券的市值V0 ，得到
該n年期的關鍵利率久期為：
n
D = V- -V+ ， y假設為1%
2V0y
其中，V+ 是利率上升y 時債券的價格、V- 是利率下降y 時債券的價格，V0 是債券的當前價格。以10年期與7年期主干點變動100個基點的影響舉例見下圖。
1%
5Y 7Y
8Y 10Y
15Y
(二)水平期限結構下關鍵年利率久期的計算
關鍵利率久期的關鍵點既可以取自正常的期限結構，也可以取自完全水平的期限結構(到期收益率模式)。
在水平的期限結構下，各年期的關鍵利率久期之和等于修正久期。因為每一個現金流都會在計算相鄰主干點的關鍵利率久期時被計算兩次，而兩次的加總恰好等于修正久期中這一年現金流產生的久期，所以把所有關鍵利率久期相加，之和等于修正久期。
現金流付息時間
02009-5-26
02010-5-26
02011-5-26
02012-5-26
02013-5-26
1002014-5-26
對于一只零息債券而言，在水平的利率期限結構下，其關鍵利率久期之和即為該債券的修正久期。
70.33
現價
到期收益率久期修正久期有效久期凸性理論價格關鍵年久期之和
6.10%5.945.605.5536.6470.345.60
水平收益率曲線下關鍵年久期之和等于修正久期的具體推導：
y1
Y1
y
Y2
2
KD = V1- -V1+ + V2- -V2+ = V1- -V1+ × y1 + V2- -V2+ × y2 = V1- -V1+ × y1 + V2- -V2+ × y2
n 2V y 2V y 2V y y 2V y y 2V y y 2V y y
0 0 0 1 0 2 0 1 0 2
對于某一個零息票債券： V1- -V1+ V2- -V2+ dP ， y = y + y ，
2V y 2V y P 1 2
0 1 0 2
V1,V2 分別為前后兩個關鍵年利率變動后，債券的價值;
y1, y2 為債券對應的關鍵利率調整形成的實際利率變動。
所以 KD
dP × ( y1 + y2 ) = dP
n P y P
由于零息債券關鍵利率久期相加等于修正久期，且付息債可以視為一系列零息債券的組合，所以對于一般的付息債而言，關鍵利率久期之和也等于修正久期。
(一)計算步驟：
1. 選擇利率水平變化的關鍵年期，如默認可選擇：1年、3年、5年、7年、10年、
15年、20年和30年。
2. 設定其他期限利率隨關鍵期限利率變動的關系：假定關鍵期限利率對非關鍵期限利率的影響是單純線性關系——關鍵年利率變動最大，其附近期限的利率變動線性遞減，到鄰近的關鍵年點時這種影響已經遞減為零。 具體而言，假定7年期利率上升10bp，由于7年期利率與右側10年期利率的時間隔3年，所以當7年期利率發生變動時，對于右側利率的影響將以每年10/3=3.33bp的速度下降(因為7年期利率和
10年期利率均為關鍵期限利率，且關鍵期限利率的變動對其他關鍵期限利率無影 響)。因此，當7年期利率上升10bp時，8年期的利率上升6.67bp，9年期的利率上升10-2×3.33=3.33bp，依次類推，10年期的利率不受影響。
當7年期的利率發生變動時，也會影響7年期以下的利率。因為7年期利率與左 側的5年期利率相隔2年，所以7年期利率上升10bp的影響將以每年10/2=5bp的速度下
1 楊筱燕，博士， FRM ，中國銀河證券股份有限公司風險管理部總監。電子郵件：
[email protected]。
降。因此，當7年期利率上升10bp時，6年期利率上升10-5=5bp，相應的，5.5年期利率上升10-1.5×5=2.5bp，以此類推。
3.假定第n個關鍵年的利率分別向上和向下發生一個微小的變動y ，根據上述關鍵年利率變動的關系，可構建新的期限結構和按以上規則變動后的到期收益率曲線，并以之分別計算變化后的債券或組合市值V+ ,V- 。結合當前債券的市值V0 ，得到
該n年期的關鍵利率久期為：
n
D = V- -V+ ， y假設為1%
2V0y
其中，V+ 是利率上升y 時債券的價格、V- 是利率下降y 時債券的價格，V0 是債券的當前價格。以10年期與7年期主干點變動100個基點的影響舉例見下圖。
1%
5Y 7Y
8Y 10Y
15Y
(二)水平期限結構下關鍵年利率久期的計算
關鍵利率久期的關鍵點既可以取自正常的期限結構，也可以取自完全水平的期限結構(到期收益率模式)。
在水平的期限結構下，各年期的關鍵利率久期之和等于修正久期。因為每一個現金流都會在計算相鄰主干點的關鍵利率久期時被計算兩次，而兩次的加總恰好等于修正久期中這一年現金流產生的久期，所以把所有關鍵利率久期相加，之和等于修正久期。
現金流付息時間
02009-5-26
02010-5-26
02011-5-26
02012-5-26
02013-5-26
1002014-5-26
對于一只零息債券而言，在水平的利率期限結構下，其關鍵利率久期之和即為該債券的修正久期。
70.33
現價
到期收益率久期修正久期有效久期凸性理論價格關鍵年久期之和
6.10%5.945.605.5536.6470.345.60
水平收益率曲線下關鍵年久期之和等于修正久期的具體推導：
y1
Y1
y
Y2
2
KD = V1- -V1+ + V2- -V2+ = V1- -V1+ × y1 + V2- -V2+ × y2 = V1- -V1+ × y1 + V2- -V2+ × y2
n 2V y 2V y 2V y y 2V y y 2V y y 2V y y
0 0 0 1 0 2 0 1 0 2
對于某一個零息票債券： V1- -V1+ V2- -V2+ dP ， y = y + y ，
2V y 2V y P 1 2
0 1 0 2
V1,V2 分別為前后兩個關鍵年利率變動后，債券的價值;
y1, y2 為債券對應的關鍵利率調整形成的實際利率變動。
所以 KD
dP × ( y1 + y2 ) = dP
n P y P
由于零息債券關鍵利率久期相加等于修正久期，且付息債可以視為一系列零息債券的組合，所以對于一般的付息債而言，關鍵利率久期之和也等于修正久期。
